Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，.

（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）连接，利用平行线的传递性结合得到，再利用点为的中点得到，从而证明四边形为平行四边形，从而得到，最终结合直线与平面的判定定理证明平面；（2）建立以点为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来求二面角的余弦值.
试题解析：（1），，，，
，，
由于，因此连接，由于，，

在平行四边形中，是线段的中点，则，且，
因此，且，所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
（2），，
又平面，、、两两垂直。
分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
故，，又，，.
设平面的法向量，
则，，取，得，所以，
设平面的法向量，则
，∴，取，得，所以，
所以
故二面角的余弦值为.