Question

已知圆锥曲线C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数）和定点A（0，

3

），F₁、F₂是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线AF₂的直角坐标方程；
（2）经过点F₁且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由圆锥曲线C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数）化为

x2

4

+

y2

3

=1，可得F₂（1，0），利用截距式即可得出直线AF₂的直角坐标方程．
（2）直线AF₂的斜率为-

3

，可得直线l的斜率为

3

3

．直线l的方程为：

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入椭圆的方程化为13t2-12

3

t-36=0，t₁+t₂=

12 3

13

，利用||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|即可得出．

解答： 解：（1）由圆锥曲线C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α为参数）化为

x2

4

+

y2

3

=1，
可得F₂（1，0），
∴直线AF₂的直角坐标方程为：

x

1

+

y

3

=1，化为y=-

3

x+

3

．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵直线AF₂的斜率为-

3

，∴直线l的斜率为

3

3

．
∴直线l的方程为：

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，
代入椭圆的方程可得：3(-1+

3

2

t)2+4(

1

2

t)2=12，
化为13t2-12

3

t-36=0，
t₁+t₂=

12 3

13

，
∴||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．