Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{a^x}-a，x≥1\end{array}$，且f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，那么a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{7}$，1）

Answer 1

分析 根据导数f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，得到f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，继而得到关于a的不等式组，解得即可．

解答 解：∵f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得0＜a$＜\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及不等式组的解法，属于基础题．