Question

如果对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，而且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”；③“

1

2

-伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．③

D．①

Answer 1

分析：根据“λ-伴随函数”的定义，可得f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，f（x）=0不是唯一一个，故①不正确；
假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，得（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，而找不到λ使上式成立，故f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，②不正确；根据“λ-伴随函数”的定义，结合函数零点存在性定理，可证出“

1

2

-伴随函数”至少有一个零点，得③正确．由此可得正确答案．

解答：解：对于①，设f（x）=C（C是常数）是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（1+λ）C=0，
当λ=-1时，C可以取遍实数集，因此f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，
可得f（x）=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”，故①不正确；
对于②，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而找不到λ使此式成立，
所以f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，故②不正确．
对于③，令x=0，得f（0+

1

2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
当f（0）=0时，显然f（x）=0有实数根；
当f（0）≠0时，f（

1

2

）•f（0）=-[

1

2

f（0）]²＜0．因为函数f（x）函数图象是连续不断的，
所以f（x）在（0，

1

2

）上必有实数根，
综上所述，因此“

1

2

-伴随函数”至少有一个零点．故③正确．
故答案为：A

点评：本题给出抽象函数，叫我们找出三个命题中的假命题，着重考查了基本初等函数的图象与性质，函数零点存在性定理等知识，属于中档题．