Question

16．设f（x）=（x-2）²e^x+ae^-x，g（x）=2a|x-2|（e为自然对数的底数），若关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解．则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$，+∞）
• B． （e，+∞）
• C． （1，e）
• D． （1，$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$）

Answer 1

分析 f（x）=g（x），即（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出结论．

解答 解：f（x）=g（x），即（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
①x=2，a=0时，x=2为函数的零点，不合题意；
②x≠2，令t=|x-2|e^x，则t²+a=2at，
x＞2，t=（x-2）e^x，t′=（x-1）e^x，在（2，+∞）上单调递增；
x＜2，t=（2-x）e^x，t′=（1-x）e^x，在（-∞，1）上单调递增，（1，2）上单调递减，
∵关于x方程f（x）=g（x）有且仅有6个不等的实数解，
∴t∈（0，e），
令y=t²-2at+a，则$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a＞0}\end{array}\right.$，∴1＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$．
故选D．

点评 本题考查方程根问题，考查导数知识的运用，正确转化是关键．