Question

11．已知实数m，n，t满足m²+n²≤t² （t≠0），则$\frac{n}{m-3t}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，将m²+n²≤t² 转化为（$\frac{m}{t}$）²+（$\frac{n}{t}$）²≤1，令$\frac{m}{t}$=x，$\frac{n}{t}$=y，则有x²+y²≤1，设P（x，y），分析x²+y²≤1表示的几何意义，进而将$\frac{n}{m-3t}$变形分析可得其几何意义，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．

解答 解：根据题意，若m²+n²≤t² （t≠0），
则有（$\frac{m}{t}$）²+（$\frac{n}{t}$）²≤1，
令$\frac{m}{t}$=x，$\frac{n}{t}$=y，则有x²+y²≤1，
设P（x，y），
则x²+y²≤1表示圆x²+y²=1的圆周以及圆的内部部分，
而$\frac{n}{m-3t}$=$\frac{\frac{n}{t}}{\frac{m}{t}-3}$=$\frac{y}{x-3}$=$\frac{y-0}{x-3}$，为点（x，y）与（3，0）连线的斜率k，
设$\frac{y-0}{x-3}$=k，则y=k（x-3），分析可得当k＞0且直线与圆相切时，k取得最大值，
此时有$\frac{|-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解可得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
则k的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，关键是转化问题，将原问题转化为直线与圆的位置关系．