Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x．
（1）当x＜0时，求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=2^x（x∈R），集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16}，试判断集合A和B的关系；
（3）已知对于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求证：函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．

Answer 1

分析：（1）根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式，求得x＜0时，函数的解析式．
（2）根据f（x）和g（x）的解析式，根据对数函数和指数函数的单调性，利用集合的条件分别求得集合A和集合B，进而可判断出二者的关系．
（3）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可，分x∈（0，1]和x∈（2^k，2^k+_1）（k∈N）两种情况，讨论函数y₁=log₂x，y₂=x图象的位置关系，可得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log₂x
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x）
（2）∵当x＞0时，f（x）=log₂x≥2，解得x≥4
当x＜0时，f（x）=-log₂（-x）≥2，解得-

1

4

≤x＜0
∴集合A={x|x≥4或-

1

4

≤x＜0}，
依题意2^x≥16，解得x≥4，
∴集合B={x|x≥4}，
∴A是B的真子集；
（3）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可
令x∈（0，+∞），函数y₁=log₂x，y₂=x
当x∈（0，1]，y₁≤0，y₂＞0，则y₁＜y₂，
当x∈（2^k，2^k+_1）（k∈N）时，y₁≤k+1，y₂＞2^k≥k+1，则y₁＜y₂，
则（0，+∞）上直线y=x始终在函数f（x）的图象下方
综上所述，函数f（x）的图象与直线y=x没有交点

点评：本题主要考查了对数函数和指数函数的性质．考查了学生对对数函数综合性的把握和理解．