Question

已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0，（k＞0）
（1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值；
（2）若不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kx²-2x+6k=0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k的值；
（2）原命题等价于函数y=kx²-2x+6k的最大值小于0，从而得出

f(2)≤0 f(3)≤0

，解之可得实数k的取值范围是（0，

2

5

]；
（3）原命题题等价于不等式组：△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

，先解△≤0，结合k＞0得k≥

6

6

，再对照

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

的解集，可得符合条件的k的取值范围．

解答：解：（1）由已知得，2和3是相应方程kx²-2x+6k=0的两根且k＞0，
      k=

2

5

．…（4分）
（2）令f（x）=kx²-2x+6k，原问题等价于

f(2)≤0 f(3)≤0

解得k≤

2

5

，又k＞0
∴实数k的取值范围是（0，

2

5

]．…（4分）
（3）对应方程的△=4-24k²，令f（x）=kx²-2x+6k，
则原问题等价于△≤0或

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

由△≤0解得k≤-

6

6

或k≥

6

6

，
又k＞0，∴k≥

6

6

…（2分）
由

f(2)≥0 f(3)≥0 2≤ 1 k ≤3

解得

2

5

≤k≤

1

2

…（3分）
综上，符合条件的k的取值范围是[

2

5

，+∞）…（1分）

点评：本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系，属于中档题．解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用．