Question

设椭圆

x2

m+1

+y2=1的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF₁|+|EF₂|取最小值时椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足

AQ

=

QB

，且

NQ

•

AB

=0，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知m＞0．由

y=x+2 x2 m+1 +y2=1

，得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2，或m≤-1（舍去）．此时|EF1|+|EF2|=2

m+1

≥2

3

．由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．由方程组

x2+3y2=3 y=kx+t

，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6kt

1+3k2

．由

AQ

=

QB

，得Q为线段AB的中点，由此能求出截距t的取值范围．

解答：解：（1）由题意，知m+1＞1，即m＞0．
由

y=x+2 x2 m+1 +y2=1

得（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，
解得m≥2，或m≤-1（舍去）∴m≥2（3分）
此时|EF1|+|EF2|=2

m+1

≥2

3

．
当且仅当m=2时，|EF₁|+|EF₂|．取得最小值2

3

，
此时椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+t．
由方程组

x2+3y2=3 y=kx+t

，
消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

6kt

1+3k2

．
由

AQ

=

QB

，得Q为线段AB的中点，
则xQ=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，yQ=kxQ+t=

t

1+3k2

．∵

NQ

•

AB

=0，
∴k_AB•k_QN=-1，[来源：学，科，即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1．
化简得1+3k²=2t．代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k2＞1，得t＞

1

2

．
所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(

1

2

，2)．

点评：本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．