【题目】如图1,在中, , , , 为边的中点,现把沿折叠,使其与构成如图2所示的三棱锥,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)在图1中,取CP的中点O,连接AO交CB于E,得AO⊥CP,在△OCB中,有AO⊥OB,即AO⊥平面PCB,
可证平面ACP⊥平面CPB.
(2)因为AO⊥平面CPB,且OC⊥OE,故可如图建立空间直角坐标系,则, ,求出平面的法向量,利用向量夹角公式即可求解.
试题解析:
(1)如图1,取得中点,连接并延长交于点,
在中,因为, , , 为边的中点,
所以是正三角形,所以,且, , .
由折叠过程可知,在图2中, , ,如图2,连接,
在中,由余弦定理得,
所以,所以.又因为, ,
所以,又因为,所以平面平面.
(2)因为平面,且,所以可建立如图二所示的空间直角坐标系.则, , , , , , .
设平面的一个法向量为,则
由得.
同理可求得平面的一个法向量为.
设所求角为,则所求角的余弦值.
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【题目】现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于和之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组,第2组,…,第6组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这50名男生身高的中位数,并估计该校高一全体男生的平均身高;
(2)求这50名男生当中身高不低于176的人数,并且在这50名身高不低于176的男生中任意抽取2人,求这2人身高都低于180的概率.
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【题目】为比较甲、乙两地某月12时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中12时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:
①甲地的平均气温低于乙地的平均气温;
②甲地的平均气温高于乙地的平均气温;
③甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差;
④甲地气温的标准差大于乙地气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【题目】已知椭圆: 过点,且离心率为.过点的直线与椭圆交于, 两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点为椭圆的右顶点,探究: 是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由.(其中, , 分别是直线、的斜率)
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【题目】在高中学习过程中,同学们常这样说:“如果你的物理成绩好,那么你的数学学习就不会有什么大问题.”某班针对“高中物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系,如表为该班随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩:
学生编号 学科 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
物理成绩(x) | 75 | 65 | 75 | 65 | 60 | 80 |
数学成绩(y) | 125 | 117 | 110 | 103 | 95 | 110 |
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程;
(2)该班某同学的物理成绩100分,预测他的数学成绩.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
参考数据:752+652+752+652+602+802=29700,
75×125+65×117+75×110+65×103+60×95+80×110=46425.
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【题目】某经济开发区规划要修建一地下停车场,停车场横截面是如图所示半椭圆形AMB,其中AP为2百米,BP为4百米,,M为半椭圆上异于A,B的一动点,且面积最大值为平方百米,如图建系.
求出半椭圆弧的方程;
若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处,N为运土点,以A,B为出口,要使运土最省工,工程部需要指定一条分界线,请求出分界线所在的曲线方程;
若在半椭圆形停车场的上方修建矩形商场,矩形的一边CD与AB平行,设百米,试确定t的值,使商场地面的面积最大.
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【题目】某企业为了了解职工的工作状况,随机抽取了一个车间对职工工作时间的情况进行暗访,工作时间在小时及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成组画出频率分布直方图(如图所示),但由于工作疏忽,没有画出最后一组,只知道最后一组的频数是.
(Ⅰ)求这次暗访中工作时间不合格的人数;
(Ⅱ)已知在工作时间超过小时的人中有两名女职工,现要从工作时间在小时以上的人中选出两名代表在职工代表大会上发言,求至少选出一位女职工作代表的概率.
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