Question

已知函数f（x）=asinx•cosx-

3

acos2x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）写出函数的最小正周期和对称轴；
（2）设x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：直接利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式求出函数的周期．
（2）通过x的范围求出相位的范围利用正弦函数的最值求解即可．

解答：解：f(x)=

1

2

asin2x-

3 a

2

(1+cos2x)+

3

2

a+b
=

a

2

sin2x-

3 a

2

cos2x+b=asin(2x-

π

3

)+b（3分）
（1）最小正周期T=

2π

|ω|

=π
对称轴当2x-

π

3

=kπ+

π

2

时，x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z（5分）
（2）0≤x≤

π

2

，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
f(x)min=-

3

2

a+b=-2，f(x)max=a+b=

3

，

- 3 2 a+b=-2 a+b= 3

⇒

a=2 b=-2+ 3

（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．