Question

10．已知圆C₁：x²+y²+6x=0关于直线l₁：y=2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（-1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设$\overrightarrow{OS}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出圆心坐标和半径，根据点的对称性求出对称圆心的坐标即可．
（2）根据向量关系以及对角线关系确定四边形为矩形，利用向量垂直的关系，转化为直线和圆相交的问题关系，利用消元法转化为根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）C₁：x²+y²+6x=0的标准方程为（x+3）²+y²=9，
则圆心为C₁（-3，0）半径为3，
设C（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+3}•2=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x-3}{2}+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y=-x-3}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即C（1，-2），则关于直线l₁：y=2x+1对称的圆为C的方程为（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）过点（-1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点．设$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
则四边形OASB是平行四边形，
∵四边形OASB的对角线相等，
∴四边形OASB是矩形，
即OA⊥OB，
∵直线过点（-1，0），是圆C外的一点，
∴直线可设为斜率式y=k（x+1），
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
将y=k（x+1），
代入（x-1）²+（y+2）²=9．
得（x-1）²+（kx+k+2）²=9．
即（1+k²）x²+2（k²+2k-1）x+（k²+4k-4）=0
则x₁x₂=$\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{2（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$，
代入（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
得入 （k²+4k-4）-2k²••$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$+k²=0，
即是（k²+2k-2）-k²••$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$=0，
化简后2k-1=1 k=1所以直线的方程是y=x+1．

点评 本题主要考查圆的对称性以及直线和圆的位置关系的应用，利用消元法转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．