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设函数f(x)=
m
n
,其中向量
m
=(2cosx,1),
n
=(cosx,   
3
sin2x),x∈R

(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面积为
3
2
,求
b+c
sinB+sinC
的值.
分析:(1)利用向量的数量积通过二倍角公式,两角和的正弦函数化简函数的表达式,然后求f(x)的最小正周期,借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间;
(2)通过f(A)=2,利用三角形的内角,求出A的值,利用△ABC的面积为
3
2
,求出c的值,通过正弦定理求
b+c
sinB+sinC
的值即可
解答:解:(1)f(x)=
m
n
=2cos2x+
3
sin2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1

函数f(x)的最小正周期T=
2
.---------------(2分)
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ,k∈Z,解得
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ
.∴函数f(x)的单调递减区间是[
π
6
+kπ,
3
+kπ],k∈Z
.--------------(4分)
(2)由f(A)=2,得2sin(2A+
π
6
)+1=2
即sin(2A+
π
6
)=
1
2
,在△ABC中
,∵0<A<π,
π
6
<2A+
π
6
π
6
+2π
.∴2A+
π
6
=
6
,解得A=
π
3
.-(6分)又∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×1×c×
3
2
=
3
2
,解得c=2

∴在△ABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=3,∴a=
3
.---------8
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=
3
3
2
,得b=2sinB,c=2sinC
,∴
b+c
sinB+sinC
=2
.--(10分)
点评:本题是中档题,通过向量数量积考查三角函数的化简求值,三角函数的单调性,正弦定理的应用三角形的面积公式的应用,考查计算能力,常考题型.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)设函数f(x)=
m•2x+m-2
2x+1
为奇函数,求m的值;
(2)已知f(x)=
a
a2-2
(ax-a-x)(a>0且a≠1)
是R上的增函数,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinx,-1)
n
=(cosx,3)

(1)设函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
3
c=2asin(A+B)
,对于(1)中的函数f(x),求f(B+
π
8
)
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•青岛二模)已知向量
m
=(sinx,
3
sinx),
n
=(sinx,-cosx)
,设函数f(x)=
m
n

(Ⅰ)求函数f(x)在[0,
2
]
上的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-
π
6
)=1
,b+c=7,△ABC的面积为2
3
,求边a的长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(cosx,sinx),
n
=(cosx,cosx)
,设函数f(x)=
m
n

(I)求f(x)的解析式,并求最小正周期;
(II)若函数g(x)的图象是由函数f(x)的图象向右平移
π
8
个单位得到的,求g(x)的最大值及使g(x)取得最大值时x的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区一模)已知向量
m
=(
3
sin2x-1,cosx),
n
=(1,2cosx),设函数f(x)=
m
n

(1)求函数 f(x)的最小正周期及x∈[0,
π
2
]
时的最大值;
(2)把函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得到的图象对应的函数为奇函数,求φ的最小值.

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