Question

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S_△ABC，且

m

=(b2+c2-a2，-2)，

n

=(sinA，S△ABC)，

m

⊥

n

．
（1）求函数f(x)=4cosxsin(x-

A

2

)在区间[0，

π

2

]上的值域；
（2）若a=3，且sin(B+

π

3

)=

3

3

，求b．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

得到

m

•

n

=0，根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根据三角形的面积公式得到S_△ABC=

1

2

bcsinA，代入得到的关系式中，化简后得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得出A的度数，将A的度数代入函数f（x）的解析式中，并利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，可得到此时正弦函数的值域，进而求出函数的值域；
（2）由sin（B+

π

3

）的值，得到B+

π

3

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（B+

π

3

）的值，然后把B化为（B+

π

3

）-

π

3

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入，求出sinB的值，再由sinA及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）∵

m

=(b2+c2-a2，-2)，

n

=(sinA，S△ABC)，

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（b²+c²-a²）sinA-2S_△ABC=0，
又a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，且S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴2bccosAsinA-2×

1

2

bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，
∴cosA=

1

2

，又A为三角形的内角，
∴A=

π

3

，
函数f(x)=4cosxsin(x-

A

2

)=4cosxsin（x-

π

6

）
4cosx（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2

3

sinxcosx-2cos²x
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
则f（x）的值域为[-2，1]；
（2）由sin（B+

π

3

）=

3

3

，得到

3π

4

＜B+

π

3

＜π，
∴cos（B+

π

3

）=-

1-sin2(B+ π 3 )

=-

6

3

，
∴sinB=[（B+

π

3

）-

π

3

]
=sin（B+

π

3

）cos

π

3

-cos（B+

π

3

）sin

π

3

=

3

3

×

1

2

+

6

3

×

3

2

=

3 +2 2

6

，
又a=3，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=1+

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．