【答案】
分析：（1）因为等差数列{a
n}中，a
1=18，d
1=18，所以a
m=a
1+（m-1）d
1=18m，因为等差数列{b
n}中，b
14=36，d
2≥2917，所以b
m+14=b
14+md
2=36+md
2，由a
m2=b
m+14-45，能求出m的取值范围
（2）①因为a
k=b
k=0，所以S
14=2S
k，即b
k+b
k+1+b
k+2+…+b
14=S
k，所以
，解得k=10，由此能求出数列{a
n}和{b
n}的通项公式．
②因为a
n=20-n，b
n=9n-90，所以
，又A
nB
n+1＜A
n+B
n等价于（A
n-1）（B
n-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此进行分类讨论能求出当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立．
解答：解：（1）因为等差数列{a
n}中，a
1=18，d
1=18，
所以a
m=a
1+（m-1）d
1=18m，
因为等差数列{b
n}中，b
14=36，d
2≥2917，
所以b
m+14=b
14+md
2=36+md
2，（2分）
又因为a
m2=b
m+14-45，
所以（18m）
2=md
2-9，
故有
，
因为m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因为a
k=b
k=0，
所以S
14=2S
k，
即b
k+1+b
k+2+…+b
14=S
k，
亦即b
k+b
k+1+b
k+2+…+b
14=S
k，
所以有
，
解得k=10，（6分）
由a
k=a
1+（k-1）d
1，b
k=b
14+（k-14）d
2知，d
1=-2，d
2=9，（8分）
所以a
n=20-2n，
b
n=9n-90； （10分）
②因为a
n=20-n，b
n=9n-90，
所以
，
又A
nB
n+1＜A
n+B
n等价于（A
n-1）（B
n-1）≤0，且a＞0且a≠1，
当a＞1时，若n=10时，（A
n-1）（B
n-1）=（a
-1）（a
-1）=0，
若n＜10时，a
10-n＞1，a
n-10＜1，
所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立，
若n＞10时，a
10-n＜1，a
n-10＞1，
所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立，
所以当a＞1时，对任意n∈N*，
所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立． （14分）
同理可证，当0＜a＜1时，对任意n∈N*，
所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立．
即当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，
所以（A
n-1）（B
n-1）≤0成立．（16分）
点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
，
，a＞0且a≠1，探究不等式AnBn+1＜An+Bn是否对一切正整数n恒成立？
