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    （2013•杨浦区一模）对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=|a，an+1=
    ||
    1
    an
     ||，an≠0
    0，an=0
    其中n=1，2，3，…
    （1）若a=
    		2
    ，求数列{an}；
    （2）当a＞
    1
    4
    时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
    （3）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．
    分析：（1）由题设知a1=||
    		2
    ||    =
    		2
    -1    ，a2=||
    1
    a1
    ||    =||
    1
    		2
    -1
    ||    =||
    		2
    +1||    =
    		2
    -1    ，由此能求出an=
    		2
    -1    ．
    （2）由a1=||a||=a，知
    1
    4
    ＜a＜1    ，1＜
    1
    a
    ＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．
    （3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
    pn
    qn
    ，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．
    解答：解：（1）∵满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，
    a1=
    		2
    ，an+1=
    ||
    1
    an
     ||，an≠0
    0，an=0
    其中n=1，2，3，…
    ∴a1=||
    		2
    ||    =
    		2
    -1    ，a2=||
    1
    a1
    ||    =||
    1
    		2
    -1
    ||    =||
    		2
    +1||    =
    		2
    -1    ，…（2分）
    ak=
    		2
    -1    ，则ak+1=||
    1
    ak
    ||    =||
    		2
    +1||    =
    		2
    -1    ，
    所以an=
    		2
    -1    ．…（4分）
    （2）∵a1=||a||=a，∴
    1
    4
    ＜a＜1    ，∴1＜
    1
    a
    ＜4，
    ①当
    1
    2
    ＜a＜1    ，即1＜
    1
    a
    ＜2时，a2=||
    1
    a1
    ||    =||
    1
    a
    ||    =
    1
    a
    -1=a，
    所以a2+a-1=0，
    解得a=
    -1+
    		5
    2
    ，（a=
    -1-
    		5
    2
    ∉（
    1
    2
    ，1），舍去）．…（6分）
    ②当
    1
    3
    ＜a≤
    1
    2
    ，即2≤
    1
    a
    ＜3时，a2=||
    1
    a1
    ||=||
    1
    a
    ||    =
    1
    a
    -2=a    ，
    所以a2+2a-1=0，
    解得a=
    -2+
    		8
    2
    =
    		2
    -1    ，（a=-
    		2
    -1    ∉（
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]，舍去）．…（7分）
    ③当
    1
    4
    ＜a≤
    1
    3
    ，即3≤
    1
    a
    ＜4时，a2=||
    1
    a1
    ||=||
    1
    a
    ||=
    1
    a
    -3=a    ，
    所以a2+3a-1=0，
    解得a=
    -3+
    		13
    2
    （a=
    -3-
    		13
    2
    ∉(
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]    ，舍去）．…（9分）
    综上，{a=
    -1+
    		5
    2
    ，a=
    		2
    -1    ，a=
    -3+
    		13
    2
    }．…（10分）
    （3）成立．…（11分）
    证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
    可设an=
    pn
    qn
    （pn是非负整数，qn是正整数，且
    pn
    qn
    既约）．…（12分）
    ①由a1=||
    p
    q
    ||=
    p1
    q1
    ，得0≤p1≤q；…（13分）
    ②若pn≠0，设qn=apn+β（0≤βPn，α，β是非负整数）
    则
    qn
    pn
    =a+
    β
    pn
    ，而由an=
    pn
    qn
    ，得
    1
    an
    =
    qn
    pn
    ，
    an+1=||
    1
    an
    ||    =||
    qn
    pn
    ||    =
    β
    pn
    ，
    故Pn+1=β，qn+1=Pn，得0≤Pn+1＜Pn．…（14分）
    若Pn=0，则pn+1=0，…（15分）
    若a1，a2，a3，…，aq均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，
    但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．…（17分）
    故a1，a2，a3，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得am=0．
    从而数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．…（18分）
    （其它解法可参考给分）
    点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查集合的求法，考查an=0是否成立的判断与证明．综合性强，计算量大，难度较高，对数学思维能力的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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    x2
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    		2
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    1
    k1
    +
    1
    k2
    +
    1
    k3
    为定值．

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    0
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    ．

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    1-i
    i
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    		2
    		2
    ．

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