Question

（2012•辽宁模拟）如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

17

4

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为

17

4

，可得p=

1

2

，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为y=

3

x-4

3

+2，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得t=4y0-

15

y0

(y0≥1)，再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为4+

p

2

=

17

4

，
∴p=

1

2

，∴抛物线C的方程为y²=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，∴

yH-y1

y 2 H - y 2 1

=-

yH-y2

y 2 H - y 2 2

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴kEF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 - y 2 1

=

1

y2+y1

=-

1

4

．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=

3

，kHB=-

3

，
∴直线HA的方程为y=

3

x-4

3

+2，
联立方程组

y= 3 x-4 3 +2 y2=x

，得

3

y2-y-4

3

+2=0，
∵yE+2=

3

3

∴yE=

3 -6

3

，xE=

13-4 3

3

．（5分）
同理可得yF=

- 3 -6

3

，xF=

13+4 3

3

，∴kEF=-

1

4

．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵kMA=

y1

x1-4

，∴kHA=

4-x1

y1

，
∴直线HA的方程为（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直线HB的方程为（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0，(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0，（9分）
∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0，
令x=0，可得t=4y0-

15

y0

(y0≥1)，
∵t′=4+

15

y 2 0

＞0，∴t关于y₀的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y₀=1时，t_min=-11．（12分）
法二：设点H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），
∵t′=4+

15

m2

＞0，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，t_min=-11．（12分）

点评：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．