Question

7．已知数列{a_n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S_n，a₁=1，且3a₂，S₃，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{4{S_n}-1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的公差，由3a₂，S₃，a₅成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和，代入${b_n}=\frac{1}{{4{S_n}-1}}$，利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），则a₂=1+d，S₃=3+3d，a₅=1+4d，
∵3a₂，S₃，a₅成等比数列，∴${{S}_{3}}^{2}=3{a}_{2}•{a}_{5}$，
即（3+3d）²=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）得：${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$，
∴${b_n}=\frac{1}{{4{S_n}-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．