Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x﹣x2 ，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，可得﹣x＞0，

∵当x≥0时f（x）=2x﹣x2，

∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，

∴f（x）=x2+2x

∴f（x）=

（2）解：∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1

f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a﹣a2，2b﹣b2]，

f（x）的值域为 ，∴ 解得a=b=1，（舍去）

若1＜a＜b，可得值域为[2b﹣b2，2a﹣a2]，f（x）的值域为 ，

∴ ，解得a=b=1，

若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=2﹣1=1，

最小值在x=a或x=b处取得，

∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为 ，

∴ =1，可得a=1，

若 =2a﹣a2，可得b=1（舍去）；

若 =2b﹣b2，化简得（b﹣1）（b2﹣b﹣1）=0解得b1= ，b2= （舍去），

∴a=1，b=

【解析】（1）由题意设x＜0，得﹣x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=﹣x2﹣2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出f（x）时的解析式．（2）因为0＜a＜b，利用配方法，可以证明f（x）在x＞0时的单调性，需要分类讨论，再对其进行求解；
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．