精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
4.已知在△ABC中,角A、B、C的对边为a,b,c,且b2=a2+c2-ac,b=1;
(Ⅰ)若A-C=$\frac{π}{6}$,求边长c的值.
(Ⅱ)若a=2c,求△ABC的面积.

分析 (1)根据题意和余弦定理求出cosB的值,由内角的范围求出B,结合条件和内角和定理求出角A和C,由正弦定理求出c的值;
(2)把a=2c代入b2=a2+c2-ac=3c2化简得到b、c的关系,利用勾股定理判断三角形的形状,再由b=1求出c的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.

解答 解:(1)由b2=a2+c2-ac得,a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
因为0<B<π,所以B=$\frac{π}{3}$,则A+C=$\frac{2π}{3}$,
又A-C=$\frac{π}{6}$,解得A=$\frac{5π}{12}$、C=$\frac{π}{4}$,
由$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$得,c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
(2)∵a=2c,∴b2=a2+c2-ac=3c2,则$b=\sqrt{3}c$,
∴a2=b2+c2,则三角形为直角三角形,则A=$\frac{π}{2}$,
由b=1得,c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

点评 本题考查了余弦定理,正弦定理,以及三角形的面积公式,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.根据下列要求的精确度,求2.036的近似值.
(1)精确到0.1;
(2)精确到0.01.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.设△ABC中,a=1,b=2,cosC=$\frac{1}{4}$,则sinB=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.关于xi(i=1,2,3,4,5)的方程x1+x2+x3+x4+x5=10(xi∈N*)的所有解的组数126(用数字作答)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.已知sinxcosx=$\frac{3}{8}$,且x∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$),则cosx-sinx=$-\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.周长为1,圆心角为1rad的扇形的面积等于(  )
A.1B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{9}$D.$\frac{1}{18}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.已知等差数列{an}的公差d<0,a3a5=112,a4=11.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,当n为何值时,Sn取得最大值?并求此最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知正数x,y满足|lg$\frac{x}{y}$|≤1,且|lg(x2y)|≤1,求xy的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.已知M(1,1)、N(3,3)则|MN|=(  )
A.8B.4C.$2\sqrt{2}$D.2

查看答案和解析>>

同步练习册答案