Question

4．已知在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且b²=a²+c²-ac，b=1；
（Ⅰ）若A-C=$\frac{π}{6}$，求边长c的值．
（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意和余弦定理求出cosB的值，由内角的范围求出B，结合条件和内角和定理求出角A和C，由正弦定理求出c的值；
（2）把a=2c代入b²=a²+c²-ac=3c²化简得到b、c的关系，利用勾股定理判断三角形的形状，再由b=1求出c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由b²=a²+c²-ac得，a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
因为0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$，则A+C=$\frac{2π}{3}$，
又A-C=$\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{5π}{12}$、C=$\frac{π}{4}$，
由$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$得，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（2）∵a=2c，∴b²=a²+c²-ac=3c²，则$b=\sqrt{3}c$，
∴a²=b²+c²，则三角形为直角三角形，则A=$\frac{π}{2}$，
由b=1得，c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了余弦定理，正弦定理，以及三角形的面积公式，属于中档题．