【题目】已知函数
.
(Ⅰ)在区间
上的极小值等于
,求
;
(Ⅱ)令,
.曲线
与
交于
,
两点,求证:
在
中点
处的切线斜率大于
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:(1)求出导函数,明确函数的极小值,从而得到值;(2)记
,要证
在
中点
处的切线斜率大于
,即证
,
只需证
.
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以
在区间
上是单调递增函数.
因为,
,由题意:
在区间
上的极小值,故
所以. 设
为
在区间
上的极小值点,
故,所以
.
设,
,则
,
所以,即
在
上单调递减,易得出
,故
.
代入可得
,满足
,故
.
(Ⅱ),由题意
有两解
,
,不妨设
.
,或
(舍).
要证在
中点
处的切线斜率大于
,即证
,
即证,只需证
.(*)
又,
,所以两式相减,并整理,
得
.把
代入(*)式,
得只需证,可化为
.
令,得只需证
.令
(
),
则
,所以
在其定义域上为增函数,
所以.
故在
中点
处的切线斜率大于
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动,规则是每邀请一位好友在该平台注册,并购买至少1万元的12月定期,邀请人可获得现金及红包奖励,现金奖励为被邀请人理财金额的,且每邀请一位最高现金奖励为300元,红包奖励为每邀请一位奖励50元.假设甲邀请到乙、丙两人,且乙、丙两人同意在该平台注册,并进行理财,乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表:
理财金额 |
|
|
|
乙理财相应金额的概率 | |||
丙理财相应金额的概率 |
(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率;
(2)若甲获得奖励为元,求
的分布列与数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校从参加安全知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数,成绩分记为优秀)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分;
(3)为参加市里举办的安全知识竞赛,学校举办预选赛.已知在学校安全知识竞赛中优秀的同学通过预选赛的概率为,现在从学校安全知识竞赛中优秀的同学中选3人参加预选赛,若随机变量
表示这3人中通过预选赛的人数,求
的分布列与数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若椭圆C1: 和椭圆C2:
的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论:
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;
②;
③;
④a1-a2<b1-b2.
其中,所有正确结论的序号是( )
A. ②③④ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②③
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【题目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a=1时,证明f(x)>f’(x)+对于任意的x∈[1,2] 恒成立。
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【题目】已知数列满足
,
,其中
,
,
为非零常数.
(1)若,
,求证:
为等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)若数列是公差不等于零的等差数列.
①求实数,
的值;
②数列的前
项和
构成数列
,从
中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为
的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.
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