Question

已知偶函数y＝f(x)＝ax²＋bx＋c的最小值为－1，且f(1)＝0．

(1)求该函数的表达式f(x)．

(2)过曲线C：y＝f(x)(x＞0)上的点P作曲线C的切线，与x轴、y轴分别交于点M，N，试确定点P的坐标，使△MON的面积最小．

[求商的导数的法则是：＝]

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为该函数为偶函数， 　　所以f(－x)＝f(x)对定义域内一切x∈R正成立．所以f(－1)＝f(1)，所以b＝0．因为f(1)＝0，所以a＋c＝0，c＝－a．所以f(x)＝ax2－a．由此，当a＞0时，f(x)有最小值－a．所以－a＝－1，a＝1，所以f(x)＝x2－1． 　　(2)如图所示，设切点为P(u，t)，则t＝u2－1．因为y＝x2－1(x＞0)，所以＝2x，kt＝2u． 　　所以过P点的切线l的方程为y－t＝2u(x－u)．则切线l与x，y轴的交点分别为M(，0)，N(0，－u2－1)．所以△MON的面积S＝(u2＋1)＝．所以＝＝．令＝0，则u＝±．因为u＞0，所以u＝．当0＜u＜，时＜0，S递减；当u＞时，＞0，S递增．所以当u＝时，S有极小值，且为最小值，此时t＝u2－1＝－．所以，点P的坐标为(，－)．