Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，
求证：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE=ED₁．

Answer 1

证明：（1）先证明BD₁⊥AC．
∵=++，=+，
∴•=（++）•（+）
=•+•=•-•=||²-||²
=1-1=0．
∴BD₁⊥AC．同理可证BD₁⊥AB₁，
于是BD₁⊥平面ACB₁．
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则==，即2=．
对于空间任意一点O，设=b，=m，=b₁，=d₁，
则上述等式可改写成2（m-b）=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b．记==e．
此即表明，由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，
所以点E既在线段B₁M（B₁M?面ACB₁）上又在线段D₁B上，
所以点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，
即D₁E：EB=2：1．∴BE=ED₁．
分析：（1）利用向量的数量积，，从而证明BD₁⊥平面ACB₁；
（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，推出2=．设=b，=m，=b₁，=d₁，求得点E分线段B₁M及D₁B各成λ（λ=2）之比，点E是D₁B与平面ACB₁之交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，即BE=ED₁．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，考查转化思想，逻辑思维能力，是中档题．