Question

有A，B两个盒子，A盒中装有3个红球，2个黑球，B盒中装有2个红球，3个黑球，现从A，B两个盒子中各取2个球互换，假定取到每个球是等可能的．
（Ⅰ）求B盒中红球个数不变的概率；
（Ⅱ）互换2球后，B盒中红球的个数记为ξ，写出ξ的分布列，并求出ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）事件“B盒中红球个数不变”可以分解为：①从A，B两个盒子中各取2个黑球；②从A，B两个盒子中各取1个黑球、1个红球；③从A，B两个盒子中各取2个红球；按这三种情况分类讨论，分别求出相应的概率，最后用概率的加法公式，即可求出B盒中红球个数不变的概率；
（Ⅱ）首先分别求出ξ=0、1、2时的概率，写出ξ的分布列；然后用ξ的值分别乘以相应的概率，求和即可求出ξ的期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）①从A，B两个盒子中各取2个黑球的概率为：

C 2 2 •C 2 3

C 2 5 •C 2 5

=

1×3

10×10

=

3

100

=0.03；
②从A，B两个盒子中各取1个黑球、1个红球的概率为：

C 1 3 C 1 2 •C 1 2 C 1 3

C 2 5 •C 2 5

=0.36；
③从A，B两个盒子中各取2个红球的概率为：

C 2 3 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.03；
所以B盒中红球个数不变的概率为：0.03+0.36+0.03=0.42；
（Ⅱ）互换2球后，B盒中红球的个数记为ξ，
则P（ξ=0）=

C 2 2 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.01，
P（ξ=1）=

C 2 2 •C 1 2 C 1 3

C 2 5 •C 2 5

+

C 1 3 C 1 2 •C 2 2

C 2 5 •C 2 5

=0.12，
P（ξ=2）=0.42，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	0.01	0.12	0.42

所以ξ的期望E（ξ）=0×0.01+1×0.12+2×0.42=0.96．

点评：本题主要考查等可能事件的概率，以及离散型随机变量及分布列和离散型随机变量的期望的求法，属于中档题．