Question

如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，AB，CD所在直线异面，且AE：EB=CF：FD
（Ⅰ）求证：EF∥β；    
（Ⅱ）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG；结合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，FG∥α；进而得到平面EFG∥β即可证得结论；
（Ⅱ）结合第一问中的结论和AC，BD所成的角为60°可以得到EG=

1

2

BD=3，FG=

1

2

AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出结论．

解答：（Ⅰ）证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG，
因为AE：EB=CF：FD
∴EG∥BD，FG∥AC，
则EG∥β，FG∥α，
∵α∥β
∴FG∥β；
又因为；EG∩FG=G．
∴平面EFG∥β
而EF?平面EFG；
∴EF∥β
（Ⅱ）解：∵EG∥BD，FG∥AC且E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6；
∴EG=

1

2

BD=3，FG=

1

2

AC=2
∵AC，BD所成的角为60°，
∴∠EGF=120°或60°
∴EF=

EG 2+FG 2-2EG•FGcos∠EGF

=

22+32-2×2×3cos∠120°

=

19

；
或EF=

22+32-2×2×3×cos∠60°

=

7

即EF=

19

或

7

．

点评：本题主要考查空间中线段距离的计算以及线面平行的判定．在求线段长度问题是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解．