已知函数,(其中,),且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若,满足,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,试探究与的大小,并说明你的理由.
(Ⅰ),;(Ⅱ);(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)先求出在点处切线方程为,再求出在点处切线方程为,比较两方程的系数即可得,;(Ⅱ)根据题意可转化成在上有解,令,只需,分类讨论可求得实数m的取值范围是;
(Ⅲ)令,再证函数在区间上单调递增,当时,恒成立,即可得对任意,有,再证即可得证.
试题解析:(Ⅰ)∵,∴,则在点处切线的斜率,切点,则在点处切线方程为,
又,∴,则在点处切线的斜率,切点,则在点处切线方程为,
由解得,. 4分
(Ⅱ)由得,故在上有解,
令,只需. 6分
①当时,,所以; 7分
②当时,∵,
∵,∴,,∴,
故,即函数在区间上单调递减,
所以,此时.
综合①②得实数m的取值范围是. 9分
(Ⅲ)令,.
令,则在上恒成立,
∴当时,成立,∴在上恒成立,
故函数在区间上单调递增,∴当时,恒成立,
故对于任意
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已知函数.
(1)试问的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在(2)的条件下,令.若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
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设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,
则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由.
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已知函数,
(Ⅰ)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M (x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x0, g(x0))处的切线平行,求实数x0的值;
(II)若(0,e],都有f(x)≥g(x)+,求实数a的取值范围.
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已知函数的图象在点处的切线斜率为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)判断方程根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
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