Question

设等比数列{a_n}的首项为a，公比q＞0且q≠1，前n项和为S_n．
（Ⅰ）当a=1时，S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列． 命题乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是首项为a=1，公比q＞0且q≠1的等比数列，
∴，∴S₁+1=1+1=2，S₂+2=1+q+2=q+3，S₃+1=1+q+q²+1=2+q+q²，
又∵S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），∴2（q+3）=2+2+q+q²，化为q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1，
∵q＞0，∴q=2，∴．
所以数列{a_n}的通项公式为．
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列，?2（S_n+1+1）=S_n+S_n+2?a_n+2=a_n+1+2；
对任意正整数n，命题乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列，?2（S_n+2+1）=S_n+1+S_n+3?a_n+3=a_n+2+2
若对于同一个正整数n，命题甲与命题乙同时为真命题，则a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1．
∴，又，
∴q²-2q+1=0，∴q=1与已知q≠1相矛盾．
所以对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．
分析：（Ⅰ）由已知条件S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），再由通项公式及前n项和公式及a=1，可求出q的值．
（Ⅱ）先假设对于同一个正整数n，命题甲与命题乙同时为真命题，由此可得出q=1，从而得出矛盾．
点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键．