Question

5．已知正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求异面直线AC₁与A₁B₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 由A₁B₁∥D₁C₁，得∠AC₁D₁是异面直线AC₁与A₁B₁所成的角，由此能求出异面直线AC₁与A₁B₁所成的角的余弦值．

解答 解：∵A₁B₁∥D₁C₁，
∴∠AC₁D₁是异面直线AC₁与A₁B₁所成的角，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∴AD₁⊥D₁C₁，AC₁=$\sqrt{3}a$，AD₁=$\sqrt{2}a$，
∴cos∠AC₁D₁=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线AC₁与A₁B₁所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．