Question

汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为a，且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比，比例系数k＞0．
（1）试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即当θ为多大时，单位时间内水槽的流量最大）．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面积公式表示出水槽的最大流量，注意变量角的取值范围；
（2）利用（1）中的函数式，借助导数知识求出函数的最值，即将设计方案问题转化成最优化问题（最值）解决．

解答：解：（1）设水槽的横截面面积为s，
则s=

1

2

[a+(a+2acosθ)]•asinθ=a2sinθ(1+cosθ).
所以f(θ)=ks=a2ksinθ(1+cosθ)，θ∈(0，

π

2

).
（2）因为f'（θ）=a²k（2cos²θ+cosθ-1），
令f'（θ）=0，则2cos²θ+cosθ-1=0．
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-1，
由0＜θ＜

π

2

知cosθ≠-1，所以cosθ=

1

2

，θ=

π

3

.
当0＜θ＜

π

3

时，f'（θ）＞0，即f（θ）在(0，

π

3

)上递增，
当

π

3

＜θ＜

π

2

时，f'（θ）＜0，即f（θ）在(

π

3

，

π

2

)上递减，
所以当θ=

π

3

时，水槽的流量最大，
即设计成θ=

π

3

的等腰梯形引水槽，可使单位时间内水槽的流量最大．

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形知识和利用导数求函数最值的方法，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．