Question

已知直线（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0（m∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）条件中给出一个直线系，需要先做出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．
（II）设出直线的方程和两个交点的坐标，把直线与圆锥曲线的方程联立写出判别式的条件和根与系数的关系，根据所给的条件，代入不等式求出k的范围．
解答：解：（Ⅰ）由（1+3m）x-（3-2m）y-（1+3m）=0得（x-3y-1）+m（3x+2y-3）=0，
由，解得F（1，0）．
设椭圆C的标准方程为，则
解得，
从而椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ） 过F的直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因点F在椭圆内部必有△＞0，
有，
∴|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|=
由，得1≤k²≤3，解得或，
∴直线l的斜率的取值范围为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，题目中首先求椭圆的方程，这是这类题目常用的一种形式，注意求椭圆的方程时，数字的运算不要出错，不然后面的运算都是错误的．