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如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.

)求关于的函数关系式?

)求圆柱形罐子体积的最大值.

 

【答案】

;(

【解析】

试题分析:方法一:()在中,,将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱,则其底面周长为,设地面半径为,则,由柱体的体积公式,可知;()利用换元法求解,令,则,对其求导可知函数上单调递增,在上单调递减,可知当时,体积取得最大值.

方法二:1)连接OB,在RtOAB中,由AB=x,则利用勾股定理可得,设圆柱底面半径为r,则r,即可得出r

利用V=πr2•x(其中0x30)即可得出Vx的关系,进而得到关于的函数关系式

2)利用(1)可知),再对V导得V′,得出其单调性,可知上是增函数,在上是减函数,所以当时,有最大值.

试题解析:【解法1】:(1

2)令

所以函数上单调递增,在上单调递减,

即当时,体积取得最大值.

【解法2】:(1)连接,在中,设,则

设圆柱底面半径为,则

其中.

2)由,得;

解得;由解得

因此上是增函数,在上是减函数.

所以当时,有最大值.

考点:1.导数在最大值、最小值问题中的应用;2.解三角形.

 

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精英家教网如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,他们相交于AB的中点P,PD=
2a3
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2
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]∪[4,+∞)
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2
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(2)方程ρ=cosθ与
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1
t
y=t-
1
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(t为参数)分别表示何种曲 线
圆,双曲线
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2a
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12
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精英家教网如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P.若PD=
2a3
,∠OAP=30°,则AB=
 
,CP=
 
(用a表示).

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