如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.
(Ⅰ)求关于的函数关系式?
(Ⅱ)求圆柱形罐子体积的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)。
【解析】
试题分析:方法一:(Ⅰ)在中,,将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱,则其底面周长为,设地面半径为,则,由柱体的体积公式,可知;(Ⅱ)利用换元法求解,令,则,对其求导可知函数在上单调递增,在上单调递减,可知当时,体积取得最大值.
方法二:(1)连接OB,在Rt△OAB中,由AB=x,则,利用勾股定理可得,设圆柱底面半径为r,则=2πr,即可得出r.
利用V=πr2•x(其中0<x<30)即可得出V与x的关系,进而得到关于的函数关系式.
(2)利用(1)可知(),再对V求导得V′,得出其单调性,可知在上是增函数,在上是减函数,所以当时,有最大值.
试题解析:【解法1】:(1)
(2)令,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
即当时,体积取得最大值.
【解法2】:(1)连接,在中,设,则
设圆柱底面半径为,则,即,
,其中.
(2)由,得;
由解得;由解得.
因此在上是增函数,在上是减函数.
所以当时,有最大值.
考点:1.导数在最大值、最小值问题中的应用;2.解三角形.
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