Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，

m

=（b，2a-c），

n

=（cosC，-cosB），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）通过向量的数量积化简表达式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，求出角B的余弦值，即可得到B的大小；
（2）利用B的大小，结合三角形的内角和，利用两角和的正弦函数化简sinA+sinC为A的三角函数，然后求解它的取值范围．

解答： （本小题满分13分）
解：（1）由

m

⊥

n

，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB    
∴sin（B+C）=2sinAcosB．又B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
又B∈（0，π）∴B=

π

3

．
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

，∴sinA+sinC=sinA+sin(

2π

3

-A)
=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

．
故sinA+sinC的取值范围是(

3

2

，

3

]．

点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．