Question

求过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.

Answer 1

思路分析一:由平面几何知识可知:通过两个定点的动圆中面积最小的是以此两定点为一直径端点的圆.于是得到如下解法.

解法一:解方程组

得交点A(-)、B(-3,2).

从而圆的圆心坐标为(-),半径为|AB|=.

因此所求圆的方程为(x+)²+(y-)²=.

思路分析二:运用过交点的曲线系方程,并借助于不等式的知识,来确定参数的值而达到目的.

解法二:设过直线与圆的交点的圆系方程为x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,则(x+λ+1)²+(y+

)²=λ²-4λ+4.要使圆的面积最小必须半径r最小,由r=≥知,当且仅当λ=时,r最小.

故所求的圆方程为(x+)²+(y-)²=.