【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左右焦点分别为和,以点为圆心,以为半径的圆与以点为圆心,以为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
()求椭圆的方程.
()设椭圆, 为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于、两点,射线交椭圆于点.
①求的值.
②(理科生做)求面积的最大值.
③(文科生做)当时, 面积的最大值.
【答案】(1);(2)①2, ②(理)(文).
【解析】试题分析:()利用椭圆的定义进行求解;()①设点,利用点在椭圆上和三点共线进行求解;②先利用点到直线的距离公式求得,再联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和弦长公式、三角形的面积公式进行求解;③先利用点到直线的距离公式求得,再联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和弦长公式、三角形的面积公式进行求解.
试题解析:()设两圆的一个交点为,则, ,由在椭圆上可得,则, ,得,则,
故椭圆方程为.
()①椭圆为方程为,
设,则有,
在射线上,设,
代入椭圆可得,
解得,即,
.
②(理)由①可得为中点, 在直线上,则到直线的距离与到直线的距离相等,
故,联立,
可得,
则, ,
,
联立,得,
,
,
当且仅当时等号成立,
故最大值为.
②(文)此时直线方程为,由①可得为的中点,而在直线上,则到直线的距离与到直线的距离相等,则,联立,
可得,
则, , ,
联立,得,
,
.
故最大值为.
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【题目】已知直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0,A、B两点极坐标分别为(1,π)、(1,0).
(1)求曲线C的参数方程;
(2)在曲线C上取一点P,求|AP|2+|BP|2的最值.
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【题目】设函数f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,
① 求a的取值范围;
② 求证:f ′(x1)+f ′(x2)<0.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形,底面ABCD为菱形,A点E为AD的中点,若BE=PE.
(1)求证:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】已知直线l:y=﹣x+1与椭圆C: =1(a>b>0))相交于不同的两点A、B,且线段AB的中点P的坐标为( , )
(1)求椭圆C离心率;
(2)设O为坐标原点,且2|OP|=|AB|,求椭圆C的方程.
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由 算得, .
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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【题目】我们为了探究函数的部分性质,先列表如下:
… | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | |
… | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.004 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
观察表中值随值变化的特点,完成以下的问题.
首先比较容易看得出来:此函数在区间上是递减的;
(1)函数在区间 上递增
当 时,= .
(2)请你根据上面性质作出此函数的大概图像;
(3)试用函数单调性的定义证明:函数在区间上为减函数.
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