Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用条件先求出函数的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；
（2II）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解．

解答：解：由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

?

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

?f（4-x）=f（14-x）?f（x）=f（x+10），
又f（3）=0，而f（7）≠0，?f（-3）=f（7）≠0?f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）
故函数y=f（x）是非奇非偶函数；
（II）由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

?

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

?f（4-x）=f（14-x）?f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0?f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，
又f（7-x）=f（7+x），故在[4，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，
所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．