Question

【题目】如图，某景区内有两条道路、，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域.已知，，.若绿化区域改造成本为万元，新建道路成本为万元.

（1）①设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围；

②设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围；

（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点在何处时改造计划的总费用最小.

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）.

【解析】

（1）①利用正弦定理求出、关于的表达式，根据题意可得出的表达式，并可求得的范围；

②设，利用余弦定理求出，根据题意可得出的表达式，并可求得的取值范围；

（2）利用导数求得函数的最小值，及其对应的的值，进而得解.

（1）①设，由正弦定理得，

，，

.

当点与点重合的时候，，所以；

②设，，

；

（2），则 ，

令，得，且，所以，得.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以当，即时，改造计划的总费用最小.