Question

5．椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上有n个不同的点P₁、P₂、…、P_n（n∈N^*），F是右焦点，{|P_nF|}组成公差为d=$\frac{3}{100}$的等差数列，则n的最大值为67．

Answer 1

分析 设P（x_n，y_n），P到右准线的距离为d_n，由圆锥曲线的统一定义算出|P_nF|=2-$\frac{1}{2}$x_n，结合题意数列{|P_nF|}组成公差为d=$\frac{3}{100}$的等差数列，得出关于横坐标x₁、x_n的等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．

解答 解：求得椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，右焦点为F（1，0），离心率e=$\frac{1}{2}$．
设P（x_n，y_n），P到右准线x=4的距离为d_n，
根据圆锥曲线的统一定义，得|P_nF|=$\frac{1}{2}$d_n=$\frac{1}{2}$（4-x_n）=2-$\frac{1}{2}$x_n，
∵数列{|P_nF|}组成公差为d=$\frac{3}{100}$的等差数列，
∴|P_nF|-|P₁F|=$\frac{3}{100}$（n-1），可得$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$x_n=$\frac{3}{100}$（n-1），
化简得x₁-x_n=$\frac{3}{50}$（n-1），
结合椭圆上点的横坐标的范围，得x₁-x_n＜2a=4
∴$\frac{3}{50}$（n-1）＜4，得n＜$\frac{203}{3}$，得n的最大值为67．
故答案为：67．

点评 本题给出椭圆上的n个点，在焦半径组成公差为d=$\frac{3}{100}$的等差数列情况下，求n的最大值．着重考查了椭圆的几何性质、等差数列的通项公式等知识，属于中档题．