Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，F₁，F₂是它的两个焦点．
（Ⅰ）求与C有共同渐近线且过点（2，

5

）的双曲线方程；
（Ⅱ）设P是双曲线C上一点，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设所求的双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，代点可得λ，进而可得方程；
（Ⅱ）由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=4，再由余弦定理可得|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF₁||PF₂|，代入数据|PF₁||PF₂|的值，代入面积公式可得．

解答：解：（Ⅰ）设与

x2

4

-y2=1有共同渐近线的双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，
又所求双曲线过点(2，

5

)，
∴λ=

22

4

-(

5

)2=-4，
故所求双曲线方程为

x2

4

-y2=-4，即

y2

4

-

x2

16

=1；
（Ⅱ）由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=4，
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF₁||PF₂|，
代入数据可得20=16+|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=4
∴S△F1PF2=

1

2

|PF1||PF2|sin60°=

1

2

×4×

3

2

=

3

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．