Question

对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x²+2x，φ（x）=2-x²存在a=2，b=-1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．
（Ⅰ）设f（x）=x²+1，g（x）=x²-x，φ（x）=x²-2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；
（Ⅱ）设f（x）=log₂x，g（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ²（x）-2φ（x）+m＜0在x∈[

2

，4]上有解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=

1

x

（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+

k

x

（常数k＞0）在（0，

k

]上是减函数，在[

k

，+∞）上是增函数）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据线性组合函数的定义，解方程即可．
（Ⅱ）利用换元法，结合对数函数的性质进行求解．
（Ⅲ）利用函数y=x+

k

x

（常数k＞0）在（0，

k

]上是减函数，在[

k

，+∞）上是增函数的性质，将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）设a•（x²+1）+b•（x²-x）=x²-2x+3，
即（a+b）x²-bx+a=x²-2x+3，
则

a+b=1 -b=-2 a=3

，此时方程组无解，
故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），
则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．
（Ⅱ）∵a=2，b=1，
∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log₂x+log 

1

2

x=2log₂x-log₂x=log₂x，
若不等式3φ²（x）-2φ（x）+m＜0在x∈[

2

，4]上有解，
即m＜-3（log₂x）²+2log₂x在x∈[

2

，4]上有解，
设t=log₂x，则∵x∈[

2

，4]，∴t∈[

1

2

，2]，
则不等式等价为m＜-3t²+2t，
∵y=-3t²+2t=-3（t-

1

3

）²+

1

3

，
∴当t=

1

2

时，函数y取得最大值

1

4

，
则m＜

1

4

，
实数m的取值范围是m＜

1

4

．
（Ⅲ）由题意φ（x）=x+

b

x

，（1≤x≤9），
①若

b

∈（1，9），则φ（x）在[1，

b

）上递减，在（

b

，9]上递增，
故φ（x）_min=φ（

b

）=2

b

，
由

1＜ b ＜9 2 b ≥b

，解得1＜b≤4．
②若

b

≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，
故φ（x）_min=φ（1）=1+b，
由

b ≤1 1+b≥b

，解得1＜b≤1．
③若

b

≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，
故φ（x）_min=φ（9）=9+

b

9

，
由

b ≥9 9+ b 9 ≥b

，此时不等式组无解．
综上b的取值范围是（0，4]．

点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，以及不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．