Question

【题目】如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：

（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为D，E是PC，AC中点，

∴PA∥DE

∵DE平面DEF，PA平面DEF，

∴PA∥平面DEF

（2）证明：因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，

∴PA=2DE，BC=2FE

∵PA=6，BC=8，DF=5

∴DE=3，EF=4，DF=5，

∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF，

∵PD=AD，D为PC的中点

∴AD=DC

∵E为AC的中点，

∴DE⊥AC

∵AC∩EF=E，

∴DE⊥平面ABC，

∵DE平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABC．

【解析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．