Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的极大值；
（2）求f（x）在区间（﹣∞，0]上的最小值；
（3）若x2+5x+5﹣aex≥0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

当x＜﹣3时，f′（x）＜0

当﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0

当x＞0时，f′（x）＜0

所以函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上为单调递减函数

在（﹣3，0）上为单调递增函数

在（0，+∞）上为单调递减函数

因此函数f（x）在x=0处有极大值f（0）=5

（2）解：由（1）得函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上为单调递减函数，

在（﹣3，0）上为单调递增函数

所以函数f（x）在x=﹣3处有最小值f（﹣3）=﹣e3

（3）解：

由（2）得函数f（x）在区间（﹣∞，0]上有最小值﹣e3

当x＞0时，f（x）＞0

所以函数f（x）在定义域中的最小值为﹣e3，所以a≤﹣e3

即a的取值范围为（﹣∞，﹣e3]

【解析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（2）根据函数的单调性，求出函数在闭区间的最小值即可；（3）问题转化为 ，根据函数的单调性得到函数f（x）在区间（﹣∞，0]上有最小值﹣e3 ， 从而求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．