Question

5．已知函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R且a≠0）．
（1）讨论f（x）在区间[-1，1]上的最大值D；
（2）若D≤1，求点（a，b）所在平面区域的面积S．

Answer 1

分析 （1）可考虑去绝对值，对f（x）=|ax+b|两边平方得到，f²（x）=a²x²+2abx+b²，可设g（x）=f²（x），g（x）便是二次函数，从而可讨论对称轴和区间[-1，1]的关系：分成$-\frac{b}{a}≤-1$，$-1＜-\frac{b}{a}≤0$，$0＜-\frac{b}{a}＜1$，和$-\frac{b}{a}≥1$四种情况，然后根据g（x）在[-1，1]的单调性或通过比较端点值的大小，从而求出g（x）的最大值，进而便可求出f（x）的最大值D=$\left\{\begin{array}{l}{|a+b|}&{-\frac{b}{a}≤0}\\{|a-b|}&{-\frac{b}{a}＞0}\end{array}\right.$；
（2）根据求得的最大值D的表达式，在该分段函数的每一段里，找出满足D≤1的点（a，b）所在的平面区域，然后求出平面区域的面积即可．

解答 解：（1）f²（x）=a²x²+2abx+b²，设g（x）=a²x²+2abx+b²，a²＞0，该函数的对称轴为x=$-\frac{b}{a}$；
①若$-\frac{b}{a}≤-1$，则g（x）在[-1，1]上单调递增；
∴g（x）的最大值为g（1）=（a+b）²；
∴f（x）的最大值D=|a+b|；
②若$-1＜-\frac{b}{a}≤0$，g（-1）=（a-b）²≤（a+b）²；
∴g（x）的最大值为（a+b）²；
∴f（x）的最大值D=|a+b|；
③若$0＜-\frac{b}{a}＜1$，则g（-1）＞g（1）；
∴g（x）的最大值为（a-b）²；
∴f（x）的最大值D=|a-b|；
④若$-\frac{b}{a}≥1$，则g（x）在[-1，1]上单调递减；
∴g（x）的最大值为g（-1）=（a-b）²；
∴f（x）的最大值D=|a-b|；
∴$D=\left\{\begin{array}{l}{|a+b|}&{-\frac{b}{a}≤0}\\{|a-b|}&{-\frac{b}{a}＞0}\end{array}\right.$；
（2）根据上面求得的D：
①$-\frac{b}{a}≤0$时，D=|a+b|；
a＞0时，b≥0，a＜0时，b≤0；
又|a+b|≤1；
即-1≤a+b≤1；
所以不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}≤0}\\{-1≤a+b≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域，如下图阴影部分所示：

∴点（a，b）所在平面区域的面积S=1；
②$-\frac{b}{a}＞0$时，D=|a-b|；
a＞0时，b＜0，a＜0时，b＞0，且|a-b|≤1；
即-1≤a-b≤1；
∴不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}＞0}\\{-1≤a-b≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域如下图阴影部分所示：

∴点（a，b）所在平面区域的面积S=1．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：函数解析式两边平方，二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性定义或比较端点值求二次函数在闭区间上的最大值的方法，能找出不等式组所表示的平面区域．