Question

10．已知直角三角形周长为2，求该三角形面积最大值．

Answer 1

分析 设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L=2，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（当且仅当a=b时取等号）
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$）²
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{L}^{2}}{6+4\sqrt{2}}$=$\frac{4}{2（6+4\sqrt{2}）}$=3-2$\sqrt{2}$．
故当且仅当a=b=2-$\sqrt{2}$，该三角形的面积最大，且为3-2$\sqrt{2}$．

点评 利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．