Question

已知函数f(x)=-cos2x-4λsin

x

2

cos

x

2

-2，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值g（λ）（用参数λ的代数式表示）；
（2）若函数f（x）的最小值等于-8求λ的值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式以及平方关系化简函数的表达式，利用配方法，讨论λ的范围，求出函数的最小值．
（2）利用函数f（x）的最小值等于-8，直接求出λ的值即可．

解答：解：（1）函数f(x)=-cos2x-4λsin

x

2

cos

x

2

-2=sin²x-2λsinx-3=（sinx-λ）²-3-λ²．
当λ∈[-1，1]时，函数的最小值为：-3-λ²．
当λ＞1时，函数的最小值为：-2-2λ．
当λ＜-1时，函数的最小值为：-2+2λ．
函数f（x）的最小值g（λ）=

-3-λ2， λ∈[-1，1] -2-2λ，λ∈(1，+∞) -2+2λ，λ∈(-∞，-1)

．
（2）函数f（x）的最小值等于-8，所以：-3-λ²=-8，λ=±

5

，不满足λ∈[-1，1]；
-2-2λ=-8．λ=3，满足题意λ＞1；
-2+2λ=-8，解得λ=-3，满足λ＜-1；
所以满足函数f（x）的最小值等于-8时λ的值为：3或-3．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，最值的应用，考查计算能力．