Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，O为AC，BD的交点，且PO⊥底面ABCD，OB=2，OD=1，OP=

2

．
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，

PM

MC

=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设CD=

2

，AB=2

2

，BC=

5

，取AB中点E，连接DE，PE，则有四边形BCDE为平行四边形，则BC∥DE，故∠PDE为异面直线PD与BC所成角（或其补角），由此能求出异面直线PD与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）连接OE，则OE⊥AB，AB⊥平面POE，所以∠PEO即为所求二面角的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的大小．
（Ⅲ）连接OM，由题设，PC⊥BD，若PC⊥平面BMD，只须PC⊥OM即可，由此能求出λ的值．

解答：（本小题13分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，
O为AC，BD的交点，且PO⊥底面ABCD，OB=2，OD=1，OP=

2

．
∴CD=

2

，AB=2

2

，BC=

5

，取AB中点E，
连接DE，PE，则有四边形BCDE为平行四边形，
则BC∥DE
故∠PDE为异面直线PD与BC所成角（或其补角）…（3分）
又PD=

3

，DE=

5

，PE=2，
由余弦定理求得：
cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

2

15

15

…（5分）
（Ⅱ）连接OE，则OE⊥AB，AB⊥平面POE，
∴∠PEO即为所求二面角的平面角，
∵BE=

2

，BO=2，OE⊥AB，
∴OE=

4-2

=

2

，
∴∠PEO=45°…（9分）
（Ⅲ）连接OM，由题设，PC⊥BD，
若PC⊥平面BMD，只须PC⊥OM即可，
在Rt△POC中，PM=

PO2

PC

=

2

3

3

=

2

3

PC，
∴λ=2…（13分）．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．