Question

5．若函数y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析 函数y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$=-cos²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，令t=cosx，则t∈[-1，1]，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得答案．

解答 解：函数y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$=-cos²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，
令t=cosx，则t∈[-1，1]，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，
由y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$的图象是开口朝下，且以直线t=$\frac{a}{2}$为对称的抛物线，
故当$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2时，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，1]上为减函数，此时当t=-1时，函数取最大值=-1-a-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=-$\frac{5}{3}$（舍去）；
当-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2时，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，$\frac{a}{2}$]上为增函数，在[$\frac{a}{2}$，1]上为减函数，此时当t=$\frac{a}{2}$时，函数取最大值=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=1-$\sqrt{7}$，或a=1+$\sqrt{7}$（舍去）；
当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，1]上为增函数，此时当t=1时，函数取最大值=-1+a-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=5；
综上所述，a=1-$\sqrt{7}$，或a=5

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，正弦型函数的图象和性质，三角函数的化简求值与变换，难度中档．