Question

16．（Ⅰ）若x＜0，求函数$f（x）=4x+\frac{3}{x}$的最大值及相应x的值；
（Ⅱ）已知x，y为正数，$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=1$，且3x+y≥m²+4m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若x＜0，利用基本不等式求函数$f（x）=4x+\frac{3}{x}$的最大值及相应x的值；
（Ⅱ）要使m²+4m≤3x+y恒成立，只需m²+4m≤（3x+y）_min，利用$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=1$结合基本不等式，求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵x＜0，∴-x＞0，$-\frac{3}{x}＞0$…（1分）
∴$f（x）=4x+\frac{3}{x}=-[（-4x）+（-\frac{3}{x}）]≤-2\sqrt{（-4x）•（-\frac{3}{x}）}=-4\sqrt{3}$…（4分）
当且仅当$-4x=-\frac{3}{x}$即$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时取等号； …（5分）
∴$f{（x）_{max}}=f（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=-4\sqrt{3}$…（6分）
（Ⅱ）要使m²+4m≤3x+y恒成立，只需m²+4m≤（3x+y）_min…（7分）
∵x＞0，y＞0
∴$3x+y=（3x+y）（\frac{1}{x}+\frac{3}{y}）=\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}+6≥2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}+6=12$…（10分）
∴m²+4m≤12，即（m-2）（m+6）≤0，
∴-6≤m≤2…（11分）
故m的取值范围是[-6，2]…（12分）

点评 本题考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．