Question

设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：要求的函数为二次函数，一般可设其为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后根据已知条件求出系数a、b、c，从而求得该二次函数．由于本题条件f(2＋x)＝f(2－x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，故可设函数f(x)＝a(x－2)2＋k． 　　解：∵f(2＋x)＝f(2－x)， 　　∴f(x)的图象关于直线x＝2对称． 　　于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 　　则由f(0)＝3，可得k＝3－4a， 　　∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3． 　　∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10， 　　∴10＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1． 　　∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3．

提示：

解题的过程就是运用已知条件的过程，已知条件要用得能揭露题目的本质(越彻底越好)．如果设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，运用条件f(2＋x)＝f(2－x)也能求得b＝－4a，但不如采用上述对称法对问题揭露得彻底． 　　本题解法为待定系数法，它适用于已知函数的思路解析式的类型(例如一次函数、二次函数等)及函数的某些特征求该函数的问题，关键在于快捷地求出待定常数．