Question

设点P是△ABC内一点（不包括边界），且

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)，则（m-1）²+（n-1）²的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意可得m、n满足的不等式组，在mon坐标系内作出不等式组对应的平面区域，如图所示．设P（m，n）是区域内一点，Q（1，1），可得（m-1）²+（n-1）²表示P、Q连线段长的平方值．运动点P并利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式加以计算，可得（m-1）²+（n-1）²的取值范围．

解答：解：∵点P是△ABC内一点（不包括边界），

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)
∴实数m、n满足不等式组

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
在mon坐标系内作出不等式组表示的平面区域，
得到如图所示的△MN0内部（不含边界），其中M（1，0），N（0，1），O是坐标原点．设P（m，n）是区域内一点，Q（1，1）
∵|PQ|=

(m-1)2+(n-1)2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²表示P、Q连线段长的平方值．
运动点P，可得当P与Q在MN上的射影重合时，|PQ|达到最小值，
当P与原点O重合时，|PQ|达到最大值．
∵点P到MN的距离为d₁=

|1+1-1|

2

=

2

2

，|PO|=

(0-1)2+(0-1)2

=

2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²∈（(

2

2

)2，(

2

)2），
即（m-1）²+（n-1）²的取值范围是(

1

2

，2)．
故答案为：(

1

2

，2)

点评：本题以平面向量为载体，求（m-1）²+（n-1）²的取值范围．着重考查了向量的线性运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．