已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称.
①求这个二次函数的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式.
【答案】
分析:(1)首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程,所以要分类讨论:
①m=0,此时方程为一元一次方程,经计算可知一定有实数根;
②m≠0,此时方程为二元一次方程,可表示出方程的根的判别式,然后结合非负数的性质进行证明.
(2)①由于抛物线的图象关于y轴对称,那么抛物线的一次项系数必为0,可据此求出m的值,从而确定函数的解析式;
②此题可用作差法求解,令y
1-y
2,然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明.
(3)根据②的结论,易知y
1、y
2的交点为(1,0),由于y
1≥y
3≥y
2成立,即三个函数都交于(1,0),结合点(-5,0)的坐标,可用a表示出y
3的函数解析式;已知y
3≥y
2,可用作差法求解,令y=y
3-y
2,可得到y的表达式,由于y
3≥y
2,所以y≥0,可据此求出a的值,即可得到抛物线的解析式.
解答:解:(1)分两种情况:
当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1,
∴当m=0,原方程有实数根.(1分)
当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵△=[-3(m-1)]
2-4m(2m-3)=m
2-6m+9=(m-3)
2≥0.
∴原方程有两个实数根.
综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根.(3分)
(2)①∵关于x的二次函数y
1=mx
2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为y
1=x
2-1…(5分)
②∵y
1-y
2=x
2-1-(2x-2)=(x-1)
2≥0,
∴y
1≥y
2(当且仅当x=1时,等号成立).…(6分)
(3)由②知,当x=1时,y
1=y
2=0.∴y
1、y
2的图象都经过(1,0).
∵对于x的同一个值,y
1≥y
3≥y
2,
∴y
3=ax
2+bx+c的图象必经过(1,0).(7分)
又∵y
3=ax
2+bx+c经过(-5,0),∴y
3=a(x-1)(x+5)=ax
2+4ax-5a.
设y=y
3-y
2=ax
2+4ax-5a-(2x-2)=ax
2+(4a-2)x+(2-5a).
∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y
1≥y
3≥y
2均成立,
∴y
3-y
2≥0,
∴y=ax
2+(4a-2)x+(2-5a)≥0.
又根据y
1、y
2的图象可得 a>0,
∴
.
∴(4a-2)
2-4a(2-5a)≤0.∴(3a-1)
2≤0.
而(3a-1)
2≥0.只有3a-1=0,解得
.
∴抛物线的解析式为
…(10分)
点评:此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法,难度较大.